František Králík byl reprezentant v házené. Tu začal hrát ve čtrnácti letech v rodném Zlíně, tehdy pojmenovaném jako Gottwaldov. Město reprezentoval nejprve jako žák a později jako dorostenec.
František jako brankář TJ Jiskra Gottwaldov získal první významný titul dorosteneckého přeborníka Československé socialistické republiky. Další titul získal později v mužské kategorii v mužstvu TJ Gottwaldov. Hráčem tohoto kolektivního sportu byl až do roku 1970. Poté se z rodinných důvodů přestěhoval do Hranic a nastoupil jako investiční referent do hranické cihelny.
V roce 1972 čekalo Františka překvapení, když byl povolán do olympijského družstva Československa. V té době byl brankářem druholigového družstva TJ Cementárna Hranice. Na letní olympiádě v roce 1972 v Mnichově, kde byl František brankářem, získalo československé mužstvo stříbrnou medaili. V téže roce byl vyhlášen nejlepším sportovcem města Hranic i okresu Přerov.
František Králík zemřel v roce 1974 v pouhých třiceti dvou letech. Jeho smrt byla velmi náhlá a nečekaná. Zanechal po sobě tři malé syny a je pochován ve Zlíně.
